清洗机厂家维普资讯 第 23 卷 表 3

　　() 卷 一～ rj j 姆 酬f 水利电 力科技 、 糨 第 2 期 梯形渠道多声路超声波测流的 数学模型及计算方法’ 世 (武 汉 水 利 电 力 大 学 水 能 动 力 工 程 系 ) 7 ； ()7· 【 摘要】 布规 律 ． 分 别应 用高 斯和 马尔柯 夫数 值 计算方 法 推 导 出梯 形渠道 多 声路超 声 l 瘦测 流 流量 计 算、 声 道分布座标及声道加权积分系效的效学模型， 并利用现场实测资料对效学模型的性进行了有 效 的验证 。 【关键 调】 超声 波测 流梯 形渠道 效学模 型本 文以 正交 函数理论 ， 水 力学 和超 声波 测流计 算理论 为 基础 ， 结 舍梯形 渠道 水 流流速...

　　() 卷 一～ rj j 姆 酬f 水利电 力科技 、 糨 第 2 期 梯形渠道多声路超声波测流的 数学模型及计算方法 世 (武 汉 水 利 电 力 大 学 水 能 动 力 工 程 系 ) 7 ； ()7 【 摘要】 布规 律 ． 分 别应 用高 斯和 马尔柯 夫数 值 计算方 法 推 导 出梯 形渠道 多 声路超 声 l 瘦测 流 流量 计 算、 声 道分布座标及声道加权积分系效的效学模型， 并利用现场实测资料对效学模型的性进行了有 效 的验证 。 【关键 调】 超声 波测 流梯 形渠道 效学模 型本 文以 正交 函数理论 ， 水 力学 和超 声波 测流计 算理论 为 基础 ， 结 舍梯形 渠道 水 流流速 丹 计 算方 法精 度 1前 言 超声波测流是一 门新 兴技 术 ， 由于 它克 服了传统测 流方式 的局 限性 ， 使得测流 工作高效 、清洗机厂家 测流结果 准确 ， 同时也使水 电站和排 灌站运行 管理更加科学化 ， 因而 受到水利水 电部 门和 试验 研 究部 门的欢迎 。 在我 国， 暂无梯形渠道利用超声波测 流的实例 ， 但是可以预见 ， 随着超声波 测 流技 术应 用的普及， 大型渠道的运行测流 ， 试验测流 采用现代化 的测流手 段势在必行 道超 声波测流理论研 究是一项十分重 要的工作 ， 在 国内 ， 迄今还 是一十 空白 ， 国外研究成果 也 不多见， 它主要包括超声波 直流量盐箕、 声道分布座标及声遭加权积分系数的确定等内容 本文 以明渠流速分布规 律为 依据 ， 建立了梯形渠道 多声 路超 声波测流流量计算的数学模型 ， 采 用两 种积 分技术得出了梯形渠道声道数 与声道 分布 座标及声道加 权积分 系数的关 系， 并用 现 场实测资料作了进 一步的验证 。 梯形渠 2梯形渠道多声路超 声波测流流 量计算的数 学模型 当水流流速 向量与声速方 向平行或成 一角度时 ， 声 传播时声速增加， 声波向上游传播时声速降低。明渠中， 一定高程的水流平均流速是通过测量 两个换能器之 间声波传播 的历时差来确定 。 换能器分 别安 装在渠道 的两 对角边坡 的 内壁上 ， 并 定 向发射 声波 ， 如图 1， 两个换 能器 T 、 T 2建立 一个声道 ， 声波与 流 向的夹角为 口 ， 声波 在静止 水流中传播速度为 C， 水流速度为 r ， 声道长度为 L 声道线上水流线平均流速可以通过测定时 间差 △ 、 声道 长度 以及水 流流 向与声道形成 的夹角 变化 声 波信号在声道 中向上游传播的时 间 ： 的大 小将 发生变化 ， 即当声渡 向下糟 来计算 ， 这 里将平 均流速看 作呈线性 T ． ，一 =L j ， 本课 愿 为水 利水 电科学基 金资助 疆 日(项 目编号 189155) l 5 维普资讯 梯 形渠道 多声路超声波测流 的数 学模 型及计 算方 法 向下游 传播的时间 = ， 图 1超声 波布置 示意 图 传播的时问差为 ； △ T 一 T “ = _==2VL丽 cosO 因 cosO 1， V 《 ， 故 △ 用下式近似表示 A T 2一V L co~O ( 1 ) 而 =多 C 一 ( 2 ) 将式 ( 2) 代入式 ( 1) 解得 ： V一糍 (3 ) 、 2 o o 蚰 其 中亍： 。 现场超声波测流就是根据实测的 上 的线平均 流速 。 对于大型渠道 ， 其流速分布 比较复杂 ， 必须采用多声道超声渡测流， 才能获得准确的流量 值 ， 可 以分 别在 特定 位置上布置超声通道 ， 在渠道上 部安 装水位计 测水面高度 ， 应用式 ( 3) 测得 通道上的水流线平均流速， 用加权积分的方法进行流量计算。 超 声波测流渠段一般选在 上游无严重 弯曲 、 下游投 有能产 生反推力的建筑物 的平 直渠段 上 。 水 流须 保持 不变形 、 不产生逆 流 ， 见 图 2(c) ， 点 Af的流速与点 A 的流速相等 ， 故 线平均均 流速 可以认 为与 L 上的水流线平均流速 r 相等 ， 则有 ： 、 计算出 A T 、 ， 再由式(3)计算水流在超声通道 上 的水流 ：P一 全 T 2c os0 取 被测渠段上任意断面 BB 为计算断面 ， 如图 2( a) 座标系 ， 假设水流水平线 皓水深方 向分布 为 r ( h) ， 如 图 2(b) 所示 ， 它 是 由不同水深 的水平方 向点流速分布通 过数值 计算转化而来的 根据水力学梯形断面流量的计算原理， 可得出： 16 维普资讯 第 23 卷 水利电力科技 口 一 2 ( -I - Bz + 小 跏 由于梯形 断面为对称图形 ， 固此建立流 量计 算的数学模型时， 只采用断面的一半 。 尘苄 ~ ／ II1 ／ IIII／ IIflll／ f ^ 一 ] 一_ 7 ＼ ＼ 、 生 。 卜～ 置 ＼ ＼ 弋-l ／ 一 0 ^h T ． h _ V ( ^／ 一I r 7 “ ／“ I 一 l 第 2 期 c 图 2声道布 置及 流量积 分示意 图 令 ： H ，B ： Bo -F Bz，则式( d) 变为 ： 口 = +等 c⋯ g ) 设 号 c喀 = (对同一个断面同一水位 为一常数)， 则有： a 一 ( 1 + ) ． ( ) ( 5 ) 由于 r ( ) 不能用确定的函数表示 ， 所 以式 (5) 直接积分有 困难 本文将用积分近似计算公式一 高斯型求积 公式和 马尔柯夫型求积 公式 使式 (5)转 化 为 ： 口 一 笥】_J(】 十 o r )州眦 式中口为计算断面过流量， B 为计算断面中线的长度， 含义是 ： “ ， ， ⋯ ， ￡ ． 是 n个积分节点 ； v (t ) ， v (t ) ， ⋯ ， ( ) 是对 应于 H个节点 的函数值 ； 骞 ) (6 ) 为计算断面的水深， V(tt) 、 W 的数学 ， ： ， ⋯ ． 是对应 于 n 个节点的权 重系数 。 多声路超声波洌流应用于 实际测流中 ， 首要问题是声道分 布座 标的求解 ， 作者认为 只要将 声道分布座标取成积分公式 中的节 点 ， 式 ( 6) 才能作 为式 ( 5) 的近似计 算公式 ， 并 保证 流量计算 公式具有小的积分误差 。 v ( tD 、 w 在测流 中分 别表 示的是第 声道 的水流线 维普资讯 梯 形渠道 多 声路 超 声 波 御 J流 的 数 学 模 型及 计算 方法 声道的加权积分 系数 ， 即有 ： = 第 梯形过 流断面多声遭趣声波测流的流量计 算公 式即为 。 = 骞量 2 c o s ~ 由此看来， 多声道超声波测流的计算归结于如何确定声道的分布座标 t 及声道加权积分系数 、 A T 靠实测获得 ， 流量计算便凭 借超 声波 流量计本 身微 的相 应功能来完成 。 ．厶， ， B， Ⅳ 均为 已』值 ， 系统 3应用高斯方法求解声道分布座标 及 声道加权积分 系数 w 的数学 模 型 高斯型的积分公式形如 ： ， 。-p( ) ． ， (z)缸W。 ． ， ( ) (7) o 百 其中权函数 P( ) 在 区间 [d， 上 大于零 。 P( ) 的 n 次正交 多项式 pa x) 的 为节点 ， 为积分 系数 ， 当 个 节点是关于 权函数 个零点时 ， 式 ( 7) 便具有的代数精度。 』 ： 一 = 二 丽 ㈣ 高斯型积分公式的截断误差 为 ： = = j 』 ： P ( )P ( )d [a ， B ] 在 ( 8) 、 (9) 式中 m n次正交 多项式 P． ( ) 的零点 ．( ) 一[ d， 胡 上关 于权 P( ) 的 n 次规格 化正交多项式 ； 五 一 。 ( ) 的首项系数 ； n． 一只( ) 的首项系数 。 梯 形过 流断 面流量计算公式可看作是式 ( 7) 在 P(z) = ( 1+ zz) 的情 形 ， 因此 “ 为 [ 一 】 ， 13 上关于权 函数 P( ) = ( 1+ z) 的 次正交多项式 P． ( ) 的 n个零点 。 用二分法求得方程 P． ( ) 0 的 n个根 ， 即为声遭分布座标 ^ ( 一 1， 2，清洗机厂家 ⋯ ， n) 。 正交多项式 P． ( ) 是这样确定 的： 当 R 1 时， P． ( ) 可通过 权 函数 P(z) 的各次矩表示 。 一m 以pz ⋯ p- { P l P ⋯ ⋯⋯ P I l 尸 。 ( ) =( 10) P ． 一】 p l 户 1+ 】 ⋯ p 2r】 j 1 一 ⋯ ， L l P( ) 缸 一 0， 1， ⋯) ， 户 ． 称为函数 (T) 的 次矩 式( 10) 是一个 n+ 1阶行列式， 如果按第 + 1行展开 ， 就得到一个 次多项式 ， 可以写成下式 ： 只 ( ) 一(一1) D四 ( + 1) D ( + I) * 一维数组 ， ( 一 I )” 。 DE( k 斗 1) 是 一 的系数 ， 它是 n 阶行列式的值 。 1 8 维普资讯 第 23 卷 水利电 力科技 第 2 期 正交 多项式 ( ) 的加权 范数 ． 记 为 liP,,r I ， ； - l一 一 l 一 1 P( )雕 (z)出 那么规格化的正交 多项式 P． ( z) 为 ： 一 ( ) 仍为正交多项式 ， 其一阶导数为 ? 一 } 将零点 Z,k代入式( 8) ． 便能计算出 w。 。 根据式( 9) ， 令 ， ( z) ； ( z) ， 则梯形渠道 多声路超声波测 流流 量计算 的积分误差为 ： j 加 z ( _l 13 从 以上计算公式看出 ， 一 旦给 定 ( 确定声道 数) 和常数 (先 由断面水位确定 日、 B) ， 就 能计 算 、 wn 并能计算积分截断误差 从 (z) 的确定到 、 w 的解算 ． 计算量相当之大， 需要编制程序由计算机来完成， 这里仅 给 出计算成果 ， 见附表 1。 4应 用马尔柯夫法求解声道分布座标 及声道 加权积分 系数 的数 学模型 马尔柯夫求积公 式形 如 ： ： P(z)， ( ) (m ) + ， (4) (1 1 ) 节点 、 m位于区间( 扣) 内， 权函数 p0 ) 在区间(a， 6) 上要求为非负 定 的 ， 所选取 的 不应与各 中的任何一个相 同， 并且使式 ( 11) 对次数尽可能高的多项式 成立 。 节点 一确定 ， 那么系数 且 与 就是的 。求积系数 的计算公式 ： 且 =』 ： 是根据边界条件预先给 c 一 ， z． ． ，( = = ， 2． ⋯ ， ) o 一 口 。 ) = =j： (z i； ： ： ； ； 0 ) =z其中 ( 一 Ⅱ ) (z 一 ) ⋯甜0 ) =0一 z1) 0一 z2) ⋯0一 。 ) 选取积分公式 的节 点 是 在[ 口 ， 6] 上按权 0 ) 一 p( z) ( ) 正交 于一 切次 数小于 。 -( ) 的零点。 积分公式的截断误差 ： 的多项式 风 1 ： )l J ( ) ( ) ( )， ( ) 4 13) 马尔柯夫指出 了能够 建立 公式( 11) 的三 种情形 ， 它要求正交多项式 。 -0 ) 存在． 且 0 ) 在 [口 ． 6] 上不变号 ， 本 文计 算流量的断面是梯形断 面， 流道 底部边壁流速为零 ， 即有一十零 流速 的 边界条件 r ( 一 1) 一 0， 考虑积分 区间仍 为[ 一 】 ， 1j ， 下面讨论 其中一种情形 。 19 维普资讯 梯 形渠道 多声路 超声波洲流的数学模型及计算方法 一一一 一 取 一个与积 分 区间左 端点重合的固定节点 ， 即 m I n一一 1， ) 一 0 + 1) ， 梯形 断面马尔柯夫求积 公式为 ： 。 一 ，( 1 +删 一 ( ) 权正交的 ， 故有 ： 0 l g 2 ⋯ l g 2 ⋯ -+ 0 。 ( ) 一 ⋯ ⋯ g 一1 g g 一1 ⋯ 口 一 I ⋯ 其中 一I 0) 出一I 同样利m - 分法求得 方程 0。 ( ) 一 0的所有零点 0 一 I ， ⋯ ， n) ， 这 个零点即为声道分布座标 (1+ ￡ )(1+ 们 ) 出 (n一0， I， 2， ⋯)， g 。 称作函数 (z)的n次矩。 tl ( 一 I +2 ， ⋯ ， n) 。 0 ． ( ) 一 6． m( ) 其中 为次项 系数 。 。( ) 是 。 1(z ) 首 项系数为 l 的形 式， 即 百 ． ( ) 一 0 ) 。( ) 为 玩( ) 的一阶导数 ， 那么 由式 (12) 可得相应的 n 个声道 的加权积分系数 。 一 ! 妇c 2， ⋯ 令 ， ( ) 一 ( ) ， 则流量积分公 式的截断误 差为 ： 日． == 』 ， (1+ )(1+z)。 ： ( )d ( l， 1 ] 通过用马尔柯 夫方法建立梯形渠道 多声路超声波测流声道分 布座 标和声道 加权 积分 系数 以及流量计 算公式 的积分截断误差计 算的数学模型 ， 经计算机解算 ， 可以得 出不 同声道数下的 声道分布座标 “ 与声道加权积分系数 巩 的值 ， 见表 2。 5对两种声道布置方案的评价 目受条件限制 ， 无法应用超声波 测流 装置进行实测 ， 作者 引用 2 个泵站 ( 山西 省尊 村引黄 电灌工程 一级泵站 、 韶山灌区龙 跃关和 团山测站) 流速仪法实 测流速分布 资料进行 梯形 渠道模 拟超声波测流计 算 ， 从 而对 高斯声道 布置 方案和马尔柯夫声道布置方案作一分析和评价 。 计算 时 ． 采用 附表 l 、 附表 2 所提供 的声道分布 座标和 声道 加权 积分系 数 ， 各声道路 径上 的水流线 平均流速是依据 实测的流速分布资料 ， 运用 一系列数学计 算方法推算 出来的 。 将模拟超声波测 流计算 所得到 的流量值 与实 测精 确流 量值进行 比较 ， 得到 各个 工况下 不同声道 数流量相对误 差 ， 后 列出不同声道布置方案的平均相对误差与声道 数的关 系表 ， 见表 3 从表 3 可以看 出 ： ( 1) 采用高斯声道 布置 方案 ， 1～4 声道 的超声波测 流计 算所得 到的流量值趋 近流量 值 ， 5～1O声道 ， 流量 值出现摆动 。但用马 尔柯 夫声道布置 方案 ， 超声波测流计算的相对误差 ， 随着声道 数增加 明显下降 ， 且该方案收敛速 度较快 。 维普资讯 第 23 卷 表 3 水利电力科技 各种声道数 流量相对误差计算表 宙 道 教 ， 模拟超声波测流流量计算平均相对误差 ( ) 站 龙跃关团山测梗 j站 尊村泵站 高 斯 方案 马 尔 柯 夫方 案 高斯 方案l 马 尔 柯夫 方案 高 斯方案 马 尔柯 夫方 案 1 0．3 7 一 l 7 8 9 一 I 0 9 l 9 7 4 1．05 一 l 6．s 9 2 2．2 l 一 8 ．O9 2．3 5 一 9 ．12 2．22 8 ．8 2 3 3 l 2 5． 2 4 2． 9 8 1 ～ 6．40 2． 56 4 ． 6 9 r 一 4． 36 4 4． 2 0 4． 3 l J 一 4+ 5 6 4 ． 6 4 3 ． 4 7 5 1 4 ． 7 l 一 4 ． 1 9 ～ 1 4． 5 6『 一 4．43 1 5． 0 9 2 ． 4 5 6 3 7 ． 5 3 3． 4 0 3 7．18 l 一 3．19 3 5． 7 0 一 1．58 7 3 2． 25 3 05 3 3． 2 9 1 3．13 3 4． O8 1 ． 39 8 9 一 l 4 ． O3 5． 45 2 ．2 8 2． 03 1 4．9 7 1 6． 30 2．17 2． 02 12 ．2 6 5． 85 0 ． 7 1 0． 56 1 } 0 33． 36 一 1． 09 31． 50 J 1． 08 33+29 吼 16 第 2 期 ( 2) 采 用高斯声 道布置方 案， 模 拟计 算流量值相 对误差与声道 数关 系曲 线呈振荡 型分布 ， 当声道效 t 5 时 ， 计算过程 出现随机误 差特性 ( 3) 马尔柯夫声遭布置方案的流量相对误 差与声遭数关系 曲线呈指数分布 ， 当声 道数 t d 时 ， 模拟超声波 测流流量计算相对误差 显著地增大 ， 当 缓慢地 减 小。 ( d) 对于精 度要求 不十 分苛 刻的梯形 渠道超 声波测 流， 采用高斯 声道布置 方案较优 ， 声道 数取 l ～ 2 为宜 ， 这 样可 以适 当降低装置 费用又满足 了一定的测 流精 度 ； 如果是 对精度 要求较 高的测 流 ， 则应考虑采用马尔柯 夫声道布置 方案 ，清洗机厂家 此时要相应增加声道教 ， 装置费用 也会 增加 ， 声道数 t 取 8～l O为宜。 这里补充说明 3 点： (1)所用流速分布资料是在测点测线较少的情况下获得的， 因此资辩 欠准确； (2) 各声道水流线平均流速是通过实测断面流速分布推算出来的， 这使得模拟超声波 测流流量计算值与实测流量值之间存在误差 ， 这是造成模拟超声波测流计 算系统误差的 主要原 因； ( 3) 超 声波 测流流量计 算公式的积分误差 、 正 交多项式零点计 算及 权重 系数计 算的 舍入误差也是模拟超声波测流流量计算系统误差形成不可忽略的因素。 5 时 ， 随声道数的增加 ， 相对误差 ． 6结 语 超声波测流技术代表着当前测流领域里的方向， 其应用前景十分广阔， 对水利水电部门提 高测流工作效率， 实现经济运行发挥了重要作用 本文提出了两套梯形渠道多声路超声波测流 流量计 算公式和 声道分 布座标厦声道加权积分 系数确定 的数 学模型 ， 并就用递推算法 和 计算 机程 序肆算 ， 得 出 了声道 分布座标 及相 应权重系数 了芦道数取值范 围 ， 填 补了超声波测 流在这一领域里的空 白， 具有一定的理论意义和 实用 价 值 。 ． 的 数值 表( 附表 1、 附表 2) ， 给出 2 l 维普资讯 浓 度 法 测 流 的 误 差 分析 与 评价 表 l 梯形断面用 高斯法确定声道 分布坐标 和声道加权系数 表 2 梯形断 面马 尔柯夫法 确定声道分布坐标和声道加权系数 投稿 日期 ： 1996 1 30 维普资讯
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